Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой высота равна корень из 3, а плоский угол при вершине равен 30 градусов

  • Это не простая задача. Правильная пирамида- в основании квадрат, Вершина проектируется в центр квадрата.
    Рассмотрим боковой треугольник.
    Надо найти связь между боковым ребром и стороной основания.
    Обозначим их а и х соответственно.
    По теореме косинусов x²= a²+a²- 2a·a·cos 30, отсюда х²=а²(2-√3)
    Высота бокового треугольника (апофема) по теореме Пифагора  l²= а²- х²/4/

    Рассмотрим треугольник, сторонами которго является апофема, высота пирамиды и третья сторона соединияет их основания. Эта третья сторона половина стороны квадрата, т.е х/2
    Тоже применим терему Пифагора    а² -х²/4 = (√3)²+ х²/4,
    х²/2=а²-3, х²=2а²-6.
    приравняем правые части х². Это выражение и то что было выше и найдено по теореме косинусов.

    2а² — 6 = а² (2-√3)
    или а²(2-2+√3)=6, отсюда, найдем а²= 6:√3.  Надо только выразить х².
    объем пирамиды равен 1/3 х² ·√3= … = 2-√3